Acertijo matemático: 12 monedas y 3 pesadas

Una de las monedas pesa más o menos

Un interesante acertijo donde normalmente aparecen 12 monedas o 12 bolas. Su enunciado: tienes 12 monedas de igual apariencia pero 1 de ellas pesa más o menos, no se sabe. Tienes que descubrir, ayudándote de una balanza y en solo 3 pesadas, cuál es la moneda que pesa diferente y además debes determinar si pesa más o menos. Yo recuerdo haber leído este problema en un libro de matemáticas de educación secundaria. Sé que en la red existen muchas y diferentes soluciones. Hoy me he propuesto realizar de nuevo el acertijo desde cero, pero no solo mostrando la solución, sino explicando cómo he ido atacando al problema.

Simplificando el problema

Hay muchas versiones de dicho acertijo y con distinto número de monedas o bolas y pesadas. He leído incluso algún libro en donde se explica al más mínimo detalle todo él. ¿Cómo comenzar?

Simplifica el problema. Imagina que:

• Sabes que la moneda que pesa diferente pesa más
• Solo puedes realizar una pesada con la balanza

Pregunta: ¿Cuántas monedas puedes tener como máximo para solucionar el problema?

Si practicas un poco sobre el papel, te darás cuenta que con 4 monedas no lo conseguirás (pruébalo), la única forma es con 3 monedas, así que para solucionar el acertijo, antes de la última pesada (3ª) tienes que haber descartado 9 monedas y tener como candidatas 3. Además debes saber -en cada una de esas 3-, si pesa más o menos.

Primera pesada

Lógicamente hay que intentar descartar en cada pesada el mayor número de monedas y además intentar adivinar qué monedas pueden pesar más o menos. Por ejemplo, si de 12 monedas pones 6 en una bandeja de la balanza y otras 6 en otra, no conseguirás descartar ninguna y esto es importante para conocer qué monedas pesan igual. Si pones:

• 3 y 3
  • Si la balanza se equilibra: Descartas las 6 de la balanza.
  • Si pesa más de un sitio que de otro: Descartas las 6 apartadas.
• 4 y 4
  • Si la balanza se equilibra: Descartas las 8 de la balanza
  • Si pesa más de un sitio que de otro: Descartas las 4 apartadas

Es curioso y a primera vista parece que la opción más lógica es tomar 3 y 3 monedas en una pesada, pero ocurre un gran problema si lo haces de este modo. Mira:

1ª pesada: 1 2 3 - 4 5 6
Apartadas: 7 8 9 10 11 12

Imagina que la balanza se equilibra. Entonces sabes que la moneda está entre el 7, 8, 9, 10, 11 y 12 pero no sabes si pesa más o menos. No puedes resolverlo en otras 2 pesadas.

Aunque parezca ilógico, la solución es pesar 4 y 4. Veamos:

1ª pesada: 1 2 3 4 - 5 6 7 8
Apartadas: 9 10 11 12

Si por ejemplo pesa más 1, 2, 3, 4 que 5, 6, 7, 8, significa que la moneda diferente está entre esas 8, pero ya sabes si pesa más o menos:

• 1 o 2 o 3 o 4: más
• 5 o 6 o 7 o 8: menos

Segunda pesada

Para realizar la segunda pesada, debes tener presente lo que comenté en el párrafo de simplificando el problema: tras la 2ª pesada debes tener solo 3 monedas candidatas a ser la diferente y debes saber si pesará más o menos. Partiendo del último ejemplo y pensando que las monedas 1, 2, 3 y 4 pesan más que 5, 6, 7, 8. Voy a hacer una pesada cualquiera:

2ª pesada 1 2 5 - 6 9 10

Imagina que la balanza se equilibra. Piensa, ¿qué moneda puede ser la diferente?: 1-buena, 2-buena, 3-posible, 4-posible, 5-buena, 6-buena, 7-posible, 8-posible, 9-buena, 10-buena, 11-buena, 12-buena. Como puedes ver hay 4 candidatas: 3, 4, 7 y 8, no puedes resolverlo.

Solución

Esta es una de las soluciones que he realizado, hay varias. Practica y encuentra otra posible solución. Para los más avispados: en una de las pesadas se podría haber utilizado menos monedas... ¿sabes en cuál?:

La verdad que ha costado realizar el dibujo. Está dividido en 4 filas:

• 1ª pesada
• 2ª pesada
• 3ª pesada
• Solución y si pesa más (+) o menos (-)

¿Tienes alguna otra solución? ¿Se podría simplificar algo? La verdad que realizando el acertijo he disfrutado bastante, seguro que te diviertes, ¡inténtalo sin ver la imagen anterior!